均值不等式公式四个推导

均值不等式（Mean Inequality）是数学中的一个重要不等式，它描述了几个数的算术平均值与几何平均值之间的关系。以下给出四个不同的推导方法：

1. 通过凸函数性质推导

对于凸函数 ( f(x) )，如果 ( x_1, x_2, ldots, x_n ) 是一组非负实数，且 ( p_1, p_2, ldots, p_n ) 是相应的正权数，满足 ( p_1 + p_2 + ldots + p_n = 1 )，那么有：

[ fleft(frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + ldots + p_n x_n